モンティ・ホール問題とは
モンティ・ホール問題は、アメリカのテレビゲームショー「Let’s Make a Deal」に由来する確率のパラドックスです。参加者は3つの扉の中から1つを選び、扉の後ろにある賞品を手に入れるチャンスがあります。しかし、この問題の興味深い点は、扉の選び直しが勝率に与える影響です。
直感に反する結果の理解
初期の選択
参加者が最初に扉を1つ選ぶとき、賞品がその扉の後ろにある確率は1/3です。残りの2つの扉のどちらかに賞品がある確率は合わせて2/3です。
司会者の役割
参加者が扉を選んだ後、司会者は残りの扉のうち、賞品がない1つを開けます。この時点で重要なのは、司会者が必ず賞品がない扉を開けるということです。したがって、参加者が初めに賞品のない扉を選んでいた場合、司会者は残りの賞品のない扉を開けることになります。
選び直しのメリット
ここで、参加者には扉を選び直す選択肢が与えられます。もし参加者が初めに賞品のある扉を選んでいたら、選び直すと勝率は1/3から0に下がります。しかし、賞品のない扉を選んでいた場合、選び直すと勝率は1/3から1に上がります。
確率の計算
初期の確率
- 賞品が選んだ扉の後ろにある確率: 1/3
- 賞品が選んだ扉の後ろにない確率: 2/3
選び直した場合の確率
- 初めに賞品のない扉を選ぶ確率は2/3で、この場合選び直すと賞品を手に入れる確率は1になります。
- 初めに賞品のある扉を選ぶ確率は1/3で、この場合選び直すと賞品を手に入れる確率は0になります。
したがって、選び直すことによって賞品を手に入れる期待値は次のようになります。
$$ (2/3 * 1) + (1/3 * 0) = 2/3 $$
選び直さない場合は、初めに賞品のある扉を選ぶ確率は変わらず1/3です。
実践的なアプローチ
シミュレーション
コンピューターを使ったシミュレーションを行うと、この確率の理論が実際に成り立つことを確認できます。シミュレーションでは、数万回、あるいは数百万回といった多くのゲームを再現し、統計的にその結果を観察します。
経験的証明
実際にこのゲームを何度も行うことによって、選び直す戦略が勝率を上げることが経験的にも証明されています。友人と実際に試してみるのも良いでしょう。
まとめ
モンティ・ホール問題は直感に反するように感じられるかもしれませんが、確率論に基づいてしっかりと解析すると、選び直すことで勝率が高まることが理解できます。数学的なパラドックスを楽しみながら、論理的思考を養う絶好の機会と言えるでしょう。
